Probabilidades: Regla de Laplace

¿Qué es la probabilidad?

La probabilidad mide qué tan probable es que ocurra un evento, expresada como un número entre 0 y 1 (o entre 0% y 100%).

• P = 0: Evento imposible
• P = 1: Evento seguro
• P = 0,5: Evento con 50% de chance

Conceptos fundamentales

Experimento aleatorio

Proceso cuyo resultado no puede predecirse con certeza. Ej: lanzar un dado.

Espacio muestral (S o Ω)

Conjunto de todos los resultados posibles.

• Lanzar un dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Lanzar una moneda: S = {cara, sello}
• Extraer una carta de baraja: S = {As♠, 2♠, ..., Rey♣} → 52 elementos

Evento (A)

Subconjunto del espacio muestral (resultados favorables).

Regla de Laplace

Cuando todos los resultados son igualmente probables:

$$P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} = \frac{n(A)}{n(S)}$$

Ejemplo 1: Dado

Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par?

• S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6
• A = {2, 4, 6} → n(A) = 3 $$P(\text{par}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50%$$

Ejemplo 2: Mazo de cartas

¿Probabilidad de sacar un As?

• n(S) = 52 cartas
• n(A) = 4 ases $$P(\text{As}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 7{,}7%$$

Eventos complementarios

$$P(A^c) = 1 - P(A)$$

Si P(llueve mañana) = 0,3 → P(no llueve) = 1 - 0,3 = 0,7

Eventos mutuamente excluyentes

No pueden ocurrir simultáneamente.

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Ejemplo: Al lanzar un dado, P(sacar 2 o 5): $$P(2 \cup 5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Probabilidad de eventos independientes

Ocurrencia de A no afecta a B.

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

Ejemplo: Lanzar dos monedas. P(cara en ambas): $$P(\text{cara}_1 \cap \text{cara}_2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 25%$$

Ejercicios propuestos

1. Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 4?

2. En una bolsa hay 5 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. Se extrae una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea azul?

3. Se lanza una moneda dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?

4. En un grupo de 30 alumnos, 18 practican deporte y 12 no. Si se elige uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que NO practique deporte?

Soluciones

1. A = {5, 6} → P = 2/6 = 1/3 ≈ 33,3%

2. n(S) = 10, n(azul) = 3 → P = 3/10 = 30%

3. Complemento: P(ninguna cara) = P(sello, sello) = 1/2 × 1/2 = 1/4 P(al menos una cara) = 1 - 1/4 = 3/4 = 75%

4. P(no deporte) = 12/30 = 2/5 = 40%

💡 Tip PAES: En preguntas de "al menos uno", usa el complemento: P(al menos uno) = 1 - P(ninguno). ¡Es mucho más fácil!