Ecuaciones de Primer Grado
Una ecuación de primer grado tiene la forma ax + b = 0.
Propiedad fundamental
Puedes realizar la misma operación en ambos lados de la ecuación sin cambiar la igualdad.
Ejemplo 1: Ecuación simple
$$3x + 7 = 22$$ $$3x = 22 - 7 = 15$$ $$x = 5$$
Ejemplo 2: Con paréntesis
$$2(x - 3) + 4 = 3x - 1$$ $$2x - 6 + 4 = 3x - 1$$ $$2x - 2 = 3x - 1$$ $$-2 + 1 = 3x - 2x$$ $$x = -1$$
Ejemplo 3: Con fracciones
$$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$$
Multiplico todo por 12 (MCM de 3 y 4): $$4x + 3x = 84$$ $$7x = 84$$ $$x = 12$$
Ecuaciones de Segundo Grado
Forma general: ax² + bx + c = 0
Método 1: Factorización
$$x^2 - 5x + 6 = 0$$ $$(x-2)(x-3) = 0$$ $$x = 2 \text{ o } x = 3$$
Método 2: Fórmula cuadrática
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
Discriminante: Δ = b² - 4ac
- Δ > 0: dos soluciones reales distintas
- Δ = 0: una solución (raíz doble)
- Δ < 0: sin soluciones reales
Ejemplo: 2x² + 3x - 2 = 0 $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$$ $$x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad , \quad x_2 = \frac{-8}{4} = -2$$
Inecuaciones de Primer Grado
Como las ecuaciones, pero con signo de desigualdad: <, >, ≤, ≥
⚠️ Regla clave: Al multiplicar o dividir por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte.
Ejemplo 1
$$3x - 4 > 8$$ $$3x > 12$$ $$x > 4$$
Solución: x ∈ (4, +∞)
Ejemplo 2 (inversión del signo)
$$-2x + 1 ≤ 7$$ $$-2x ≤ 6$$ $$x ≥ -3 \quad \text{(se invierte al dividir por -2)}$$
Solución: x ∈ [-3, +∞)
Problemas con Ecuaciones
Estrategia para resolver problemas
- Asigna una variable a lo que se pide
- Traduce el enunciado a una ecuación
- Resuelve
- Verifica la solución
Ejemplo
La suma de tres números consecutivos es 87. ¿Cuáles son?
Sea el primer número = n: $$n + (n+1) + (n+2) = 87$$ $$3n + 3 = 87$$ $$3n = 84$$ $$n = 28$$
Los números son: 28, 29, 30 ✓ Verificación: 28+29+30 = 87 ✓
Ejercicios propuestos
- Resuelve: 5(2x - 1) = 3(x + 4) + 2
- Resuelve: x² - 7x + 10 = 0
- Resuelve la inecuación: -3x + 5 < 14
- La edad de Ana es el triple de la de su hermano. En 5 años, la suma de sus edades será 50. ¿Qué edades tienen ahora?
- Resuelve: x² + 4x + 1 = 0 (usa la fórmula cuadrática)
Soluciones
- 10x - 5 = 3x + 12 + 2 → 7x = 19 → x = 19/7
- (x-2)(x-5) = 0 → x = 2 o x = 5
- -3x < 9 → x > -3 → x ∈ (-3, +∞)
- Sea hermano = x, Ana = 3x. En 5 años: (3x+5)+(x+5)=50 → 4x+10=50 → x=10. Hermano: 10 años, Ana: 30 años
- x = (-4 ± √(16-4))/2 = (-4 ± √12)/2 = -2 ± √3
💡 Tip PAES: Al resolver ecuaciones en una prueba de tiempo, primero verifica si puedes factorizar (más rápido) antes de usar la fórmula cuadrática.